Educación matemática y realismo

En un estudio francés que causó gran revuelo¹, se plantearon a alumnos de primaria (7 y 8 años) preguntas del siguiente tipo: “Hay 26 ovejas y 10 cabras en un barco. ¿Qué edad tiene el capitán?” Al analizar las respuestas, sorprendentemente, un porcentaje muy alto del alumnado (80 %) dio una respuesta numérica a la pregunta formulada. Los resultados de evaluaciones internacionales, como el informe PISA, concluyen que el alumnado actual, en general, tiene dificultades para resolver problemas y, en especial, aquellos que están relacionados con situaciones cotidianas (problemas realistas).

La educación matemática actual se entiende como un conjunto de actividades que permiten la resolución de problemas con una finalidad práctica, alejada del aprendizaje tradicional de conceptos y procedimientos abstractos desligados del mundo real. En el siguiente artículo, analizamos la descontextualización de las matemáticas a través de un caso práctico. Comprobamos las dificultades del alumnado para resolver problemas aritméticos verbales y relacionarlos con situaciones prácticas cotidianas, y proponemos posibles soluciones para mejorar la situación.

Un caso práctico

Planteamos por escrito dos preguntas a 43 alumnos del bachillerato de ciencias (etapa preuniversitaria en España). Las dos estaban relacionadas con situaciones prácticas conocidas aunque para la primera se permitía una respuesta razonada, acompañada en caso necesario de los cálculos pertinentes, mientras que la segunda era la típica pregunta tipo test que requería la elección de una de las cuatro respuestas propuestas. Como lo que nos interesaba era el análisis estadístico de la muestra, se indicó a los alumnos que no era necesario dar a conocer su identidad. Los enunciados eran los siguientes:

1) Un atleta corre 1000 m en un tiempo de dos minutos y veinte  segundos. ¿Cuánto tardará en correr 3 km?

2) El recipiente de la figura se está llenando desde un grifo a una velocidad constante. Si la profundidad del agua es de 3,5 cm después de 10 segundos, ¿cuál será la profundidad después de 30 segundos?² Elige una de las siguientes opciones:

a) 11,5 cm     b) 10,5 cm     c) 23,5 cm     d) Es imposible dar una respuesta precisa

En la primera pregunta, en el enunciado no se comenta que el atleta recorre las dos distancias a una velocidad constante. Por otra parte, es evidente que el ritmo del atleta dependerá de sus reservas energéticas y que en una carrera normal puede verse alterado por dichas reservas. Esto está relacionado con la incapacidad del organismo, en una prueba de esfuerzo máximo, para mantener el ritmo en un recorrido con una distancia suplementaria (en este caso 2 km). Los alumnos conocen esta situación dado que han participado en diferentes pruebas cronometradas en la asignatura de educación física. Respecto a la segunda pregunta, se observa que la forma del recipiente condiciona la existencia de una proporcionalidad directa entre la profundidad del agua y el tiempo transcurrido, es decir, cada 10 segundos sucesivos la profundidad del agua será menor que los 3,5 cm iniciales.

Las respuestas se clasificaron en tres tipos: erróneas, no realistas y realistas. La respuesta  errónea se consideró cuando el alumno no aportó una solución o dio una solución numérica que no correspondía a la predecible (7 minutos en la primera o 10,5 cm en la segunda), es decir, cometió un error de cálculo. La respuesta no realista se consideró aquella que correspondía al cálculo predecible y que no mostró, al menos en la primera pregunta, ningún comentario adicional. Y la respuesta se aceptó como realista si tuvo en cuenta consideraciones realistas o si añadía a la respuesta predecible algún comentario complementario sobre la complejidad de aplicar el enunciado a una situación real. En la segunda pregunta, que era tipo test, esto correspondía a la respuesta d). Los resultados obtenidos se muestran en los siguientes gráficos:

Como observamos en la gráfica de la pregunta 1, hay varios alumnos que cometen errores de cálculo (8, en porcentaje 19 % del total), la gran mayoría da la respuesta rutinaria (34, 79 % del total) y sólo un alumno (2 %) es capaz de aportar una respuesta realista. Estos resultados, independientemente del contexto particular elegido, concuerdan con otros llevados a cabo en diferentes países³, mayoritariamente con alumnos de primaria. Y muestran las dificultades generales de los alumnos para interpretar los enunciados aritméticos verbales relacionados con cuestiones cotidianas, dotarlos de significado e incorporar informaciones “realistas”. Les cuesta aplicar el proceso de modelización matemática, que hace referencia a la aplicación de las matemáticas en la resolución de problemas del mundo real.

En la pregunta 2, introducimos una información adicional en el apartado d) al presentar como opción  la imposibilidad de dar una respuesta precisa. Es evidente que este aviso indirecto hace que el número de respuestas realistas aumente bastante respecto a la anterior pregunta (12, 28 %). Las respuestas erróneas (6, 14 %) y las no realistas (25, 58 %) disminuyen consecuentemente. Estos resultados obtenidos en la pregunta 2 no concuerdan con algunos estudios en los que, aunque se incluía en el inicio de la prueba un aviso explícito sobre el carácter particular de las preguntas planteadas, no se obtenían mejoras sustanciales en favor del alumnado avisado⁴ (sí que se obtenían mejoras cuando los alumnos tenían que resolver los problemas en contextos experimentales más reales). Esto se puede justificar atendiendo a que la información que aporta la aparición de la respuesta realista, en la pregunta tipo test, resulta un aviso más explícito.

¿Por qué los alumnos no saben resolver problemas realistas?

Tradicionalmente, los problemas verbales han consistido en aplicar operaciones aritméticas sencillas y obtener resultados a partir de cálculos que han excluido el análisis crítico y la comprensión de la situación sin la reflexión adecuada. El entrenamiento continuado de los alumnos en la resolución de problemas que requieren planteamientos rutinarios, conlleva  que no estén preparados para afrontar la resolución de problemas aritméticos verbales que requieren conocimientos del mundo real, como hemos comprobado en el apartado anterior. Desde los primeros años en la infancia, la mayoría de problemas que aparecen en los libros de texto muestran enunciados que eluden la reflexión, favoreciendo la aplicación de procedimientos exclusivamente matemáticos, muchas veces están en contradicción con conocimientos cotidianos adquiridos por los alumnos, presentan respuestas numéricas únicas y eluden el análisis crítico de los resultados⁵. Tareas rutinarias que van en detrimento de la creatividad y la motivación.

Los estudios con profesores en formación⁶, demuestran que muchos de estos futuros profesores tienen tendencia a excluir conocimientos prácticos de los enunciados con más aplicaciones. Las creencias del docente sobre cómo se deben resolver los problemas se han arraigado con el paso del tiempo (la imitación es una potente forma de aprendizaje que se transmite de maestro a alumno) y condicionan la interacción con sus alumnos. Tradicionalmente, los alumnos asocian el conocimiento matemático a recordar fórmulas o algoritmos correctos que permitan responder la pregunta planteada por el maestro, que será el encargado de dar el veredicto final sobre la misma. Los nuevos tiempos requieren estrategias diferentes.

Posibles soluciones

A continuación reflexionamos sobre algunos factores que creemos son críticos para mejorar la resolución de problemas realistas:

Menos rutina

Es necesario aumentar la resolución de problemas no rutinarios y eliminar los cálculos que no se correspondan con la vida real. No todos los problemas requieren operaciones aritméticas básicas o conceptos y procedimientos aprendidos recientemente. La variedad en la elección de enunciados correspondientes a situaciones prácticas, que puedan resolverse sin utilizar procedimientos exclusivamente matemáticos, optimiza la motivación del alumno y puede resultar como antídoto eficaz ante los alumnos (nuestra experiencia nos dice que son muchos) que creen que las matemáticas escolares constituyen un artificio desconectado de la realidad.

Más cooperación

Resulta  imprescindible plantear estrategias en el aula que favorezcan el trabajo cooperativo y que permitan la discusión y el análisis colectivo. El trabajo en grupo ayuda a muchos alumnos a superar la desconfianza con la que afrontan las matemáticas, como resultado de creencias propias erróneas (“yo nunca he podido con las matemáticas”,etc.), y el temor a equivocarse⁷. Al observar el trabajo del grupo realizando una tarea, el docente debería aportar ideas cuando fueran necesarias, estimular la reflexión y la cooperación de todos los compañeros y, en concreto, la de aquellos con más dificultades. Como ya hemos comentado muchas veces, este tipo de estrategias nos lleva a entender el aprendizaje no como una adquisición, sino como una participación. Ni el profesor ni el libro de texto son infalibles.

Soluciones diversas

Los docentes deberíamos inculcar la idea de que no todos los problemas requieren soluciones exactas y únicas. En muchas ocasiones resulta adecuado hacer estimaciones o aproximaciones, todo en beneficio de razonamientos más complejos y en detrimento de análisis superficiales. El aprendizaje de las matemáticas no consiste en dar únicamente una respuesta a la pregunta formulada, sino en dotar de significado a las relaciones que han permitido obtener esa respuesta. Muchas veces damos una importancia excesiva a la memorización como estrategia de aprendizaje y ello resulta contraproducente, al inducir actitudes negativas de parte del alumnado frente a  la asignatura. El exagerado protagonismo que adquieren determinadas fórmulas o algoritmos coarta la búsqueda de soluciones creativas.

El alumno ha de aprender que no todos los datos numéricos que aparezcan en un enunciado se han de utilizar obligatoriamente y que hay que analizar los resultados obtenidos y compararlos con situaciones cotidianas. Asimismo, el docente ha de demostrar la existencia de distintas soluciones y métodos de resolución de los problemas, incentivando análisis alternativos y evitando imponer las soluciones. Como decía Francesco Tonucci, el profesor ha de dejar de garantizar la verdad para garantizar el método⁸.

Conclusiones finales

La aplicación de las estrategias planteadas requiere esfuerzo, y no sólo para el alumno sino también para el profesorado. Esta es la razón por la que muchas prácticas educativas no se apliquen; nos cuesta mucho cambiar. Pero, como comentábamos en un anterior artículo⁹, si podemos evitarlo, no reflexionamos sino que confiamos en nuestra memoria.

El enfoque multidisciplinar puede promover la aplicación de conocimientos no matemáticos a la resolución de problemas pero se necesita la aceptación del trabajo cooperativo en el colectivo. Y eso no siempre es posible.

Pero no nos engañemos, la verdadera utilidad de la resolución de problemas matemáticos es el aprendizaje de técnicas que puedan ser aplicadas en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Y el objetivo de todo ser humano es bien conocido. Claudi Alsina lo resume de forma clarificadora: “Enseñar y aprender matemáticas puede y debe ser una experiencia feliz”¹⁰.

Jesús C. Guillén

¹  Se analiza el caso en: Baruk, Stella, L’age du capitaine. De l’erreur en mathématiques, Seuil, 1985.

²  La segunda pregunta es la misma que realizó el grupo de investigación de Lieven Verschaffel a un grupo de futuros profesores: Verschaffel, L.; “Pre-service teachers conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems”, Learning and Instruction, 4.

³ Constituye un estudio de referencia: Verschaffel, L.; Greer, B.; DeCorte, E. (1994): “Realistic considerations in mathematical modeling of school arithmetic word problems”, Learning and instruction, 4.

⁴ Yoshida, H.; Verschaffel, L.; De Corte, E. (1997): “Realistic considerations in solving problematic word problems: do Japanese and Belgian children have the same difficulties?”, Learning and Instruction, 7.

⁵ En la conferencia del reconocido divulgador Claudi Alsina “Si Enrique VIII tuvo seis esposas, ¿cuántas tuvo Enrique IV” se muestra una gran cantidad de enunciados, extraídos de libros de texto, que corresponden a lo que él llama el timo de las realidades matemáticas:

http://www.youtube.com/watch?v=1yuSdFqNTSk

⁶ Ver nota 2.

⁷ Algunos de estos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas ya se analizaban en un artículo anterior:

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/03/20/matematicas-y-neurociencia/

⁸ Tonucci, Francesco, Enseñar o aprender, Losada, 1996. La reseña del libro se encuentra en:

http://escuelaconcerebro.jimdo.com/rese%C3%B1as/ense%C3%B1ar-o-aprender-de-f-tonucci/

⁹ https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/05/22/luchando-contra-la-propia-naturaleza/

¹⁰ Ver nota 5.

Para saber más:

Verschaffel, Lieven: “Los problemas aritméticos verbales y la modelización matemática”. En N. Planas (coord.), Teoría, crítica y práctica de la educación matemática (pags. 27-42), Graó, 2012.

Font, V.; Godino, J. D.; Goñi,  J. M. y Planas, N.: Matemáticas: Investigación, innovación y buenas prácticas, Graó, 2011.

Vicente, S.; Van Dooren, W. y Verschaffel, L. (2008): “Utilizar las matemáticas para resolver problemas reales”, Cultura y Educación, 20.

De Corte, E. y Verschaffel, L.(2003): “El desarrollo de habilidades de autorregulación en la solución de problemas matemáticos”, Pensamiento educativo, 32.