Archivo

Posts Tagged ‘Resolución de problemas’

La memoria de trabajo: un recurso limitado pero fundamental en la resolución de problemas

La memoria de trabajo es un tipo de memoria de corto plazo en la que interviene la corteza prefrontal, sede de las funciones ejecutivas. Nos permite integrar percepciones instantáneas producidas en períodos cortos y combinarlas con el recuerdo de experiencias pasadas (Kandel, 2007), con lo que es imprescindible en tareas cotidianas como mantener una conversación, sumar números o leer una frase. Resulta fundamental para la reflexión y la resolución de problemas porque permite combinar la información que nos llega del entorno con la almacenada en la memoria a largo plazo.

Los estudios que han utilizado las técnicas de visualización cerebral como la resonancia magnética han demostrado que, aunque los componentes básicos de la memoria de trabajo están localizados en regiones diferentes de la corteza cerebral, la zona dorsolateral de la corteza prefrontal desempeña un papel trascendental (ver video).

En el siguiente artículo analizamos la importancia de la memoria de trabajo en el caso concreto de la resolución de problemas matemáticos y proponemos algunas sugerencias prácticas.

Análisis de un caso práctico

Planteamos dos problemas análogos a alumnos del bachillerato de ciencias (etapa preuniversitaria en España). La diferencia radicaba en que en el segundo problema existía un complemento visual que permitía simplificar gran parte del enunciado anterior. Los enunciados correspondientes eran estos (Willingham, 2011):

Problema 1

En las posadas de algunas aldeas del Himalaya se practica una refinada ceremonia del té en la que participan un anfitrión y dos invitados, exactamente, ni más ni menos. Cuando los invitados han llegado y están sentados en la mesa, el anfitrión lleva a cabo tres servicios. Estos servicios se enumeran según el orden de nobleza que los habitantes del Himalaya les atribuyen (de menos a más): echar leña, avivar el fuego y servir el té. Durante la ceremonia, cualquiera de los presentes puede pedir a otro: “Honorable señor, ¿puedo encargarme de esta tarea pesada por usted?”. Pero sólo puede encargarse de la tarea menos noble. Además, si alguno está haciendo una tarea, no puede solicitar hacer otra menos noble que la que está haciendo. La costumbre exige que para cuando la ceremonia del té termine, todas las tareas hayan pasado del anfitrión al invitado de más edad. ¿Cómo se consigue?

Problema 2

Problema de los aros

En esta figura se muestra un tablero de juego con tres piezas. Hay tres aros de tamaño decreciente en la primera pieza de la izquierda. El objetivo consiste en mover los tres aros desde la pieza 1 de la izquierda a la de la derecha 3. Sólo hay dos reglas que limitan el movimiento de los aros: sólo se puede mover un aro al mismo tiempo  y no se puede colocar un aro mayor sobre uno menor.

Los problemas son análogos porque se pueden identificar las tres tareas del problema 1 (echar leña, avivar el fuego y servir el té, de menor a mayor importancia, respectivamente) con los tres  aros del segundo problema. Y de la misma forma, se puede hacer la analogía entre el anfitrión y los dos invitados con las tres piezas del segundo caso.

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Problema abstracto

Problema visual

Como cabía esperar, el porcentaje de aciertos en el segundo problema fue mucho mayor que en el primero.

La sensación que uno tiene cuando lee por primera vez el problema de la ceremonia del té es que se necesitan nuevas lecturas y la realización de algún esquema complementario que permita identificar la información relevante del enunciado y poder así planificar mejor la estrategia en la resolución del mismo. La gran cantidad de información aportada en ese enunciado satura la memoria de trabajo comprometiendo la necesaria reflexión y, además, como los mismos alumnos comentaron, no existe la imagen de las piezas que mantenga una imagen mental de los discos mientras se piensa en los cambios correspondientes.

Por otra parte, existe la dificultad de ver la analogía entre los dos enunciados. A nuestro cerebro le cuesta abstraer porque prefiere lo concreto, pero puede mejorar su capacidad para identificar ciertos patrones como consecuencia del entrenamiento adecuado. La diferencia entre el docente y sus alumnos en estos niveles académicos se debe a una mayor experiencia en la resolución de problemas y no a una mayor inteligencia.

Implicaciones educativas

La memoria de trabajo es limitada

Sabemos que el proceso de maduración cerebral para la corteza prefrontal (trascendental para la memoria de trabajo) no ha concluido en la adolescencia, por lo que hemos de ser sensibles ante esta situación no sólo en lo conductual sino también en lo cognitivo. La saturación de la memoria de trabajo impide disponer del espacio adecuado en la misma para dedicarlo a la resolución de la tarea planteada y esto se puede facilitar adquiriendo una serie de automatismos, sobre todo en el cálculo matemático (Cumming, 1999). Cuando el cerebro convierte una tarea novedosa en rutinaria, con el correspondiente desplazamiento de la actividad del hemisferio derecho al izquierdo (Gold, 1996), requiere menos energía y se convierte en más eficiente.

Los elementos visuales son importantes

Los profesores también podemos ayudar a optimizar el aprendizaje facilitando enunciados comprensibles que ayuden a identificar los aspectos más relevantes del problema. Aunque, evidentemente, esto se mejora a través de la práctica continua, el uso habitual de herramientas visuales en las clases facilita el aprendizaje por dos motivos principales. El primero, es que el lóbulo parietal, tan importante en el procesamiento matemático (Dehaene, 1997), interviene en la representación espacial. Y el segundo, que no podemos obviar, es que los adolescentes actuales han crecido en un mundo visual muy diferente al que conocimos los docentes. El uso de gráficos ayuda a los alumnos a organizar su pensamiento y actúa como un elemento motivador. Esto se da especialmente en la asignatura de matemáticas, en la que las creencias previas y los factores emocionales desempeñan un papel muy importante en los procesos de enseñanza y aprendizaje. En concreto, lo pudimos comprobar en la resolución del primer problema, en el que algún alumno rápidamente se desanimaba al sentirse abrumado por la cantidad de datos que debía procesar.

La reflexión requiere atención

Para que el alumno pueda razonar de forma adecuada en la resolución de problemas hemos de saber ofrecer los problemas con el nivel apropiado de dificultad. Sin atención no puede existir la reflexión y las investigaciones en neurociencia están demostrando que una forma muy eficaz de evocarla es a través de la curiosidad. Teniendo en cuenta los conocimientos previos e intereses del alumno y resolviendo problemas reales se les puede motivar más y, de esta forma, facilitar la adquisición del conocimiento profundo en detrimento del más superficial. La eficacia en el razonamiento requiere conocimientos previos, análisis y que la información esté cierto tiempo en la memoria de trabajo, de ahí la importancia de la atención.

La práctica continua mejora la abstracción

La mejora en la comprensión de conceptos abstractos requiere que exijamos un análisis continuado y profundo en las preguntas formuladas o ejercicios realizados y la necesidad imperiosa de comparar continuamente diferentes ejemplos.

La memoria de trabajo nos permite ser conscientes de lo que hacemos y reflexionar sobre ello. Su importancia en la resolución de problemas es indiscutible dado que permite combinar la información que manipulamos con los conocimientos que tenemos almacenados en la memoria a largo plazo. La nueva disciplina llamada neuroeducación, en la que confluyen los conocimientos aportados por la neurociencia, la psicología cognitiva y la pedagogía, nos está suministrando información relevante sobre cómo optimizar la memoria de trabajo y las técnicas de resolución de problemas. Aprovechémosla.

Jesús C. Guillén

Bibliografía:

1. Cumming J., Elkins J. (1999): “Lack of automaticity in the basic addition facts as a characteristic of arithmetic learning problems and instructional needs”. Mathematical Cognition.

2. Dehaene, S. The number sense. how the mind create mathematics. Oxford University Press, 1997.

3. Gold J. et al. (1996): “PET validation of a novel prefrontal task: delayed response alteration”, Neuropsychology, 10.

4. Kandel, Eric, En busca de la memoria, Katz, 2007.

5. Willingham, Daniel, ¿Por qué a los niños no les gusta ir a la escuela?, Graó, 2011.

Para saber más:

Baddeley, Alan (2003): “Working memory: looking back and looking forward”, Nature Reviews, 4.

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/12/27/neuroeducacion-estrategias-basadas-en-el-funcionamiento-del-cerebro/

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/07/13/la-memoria-un-recurso-fundamental-2/

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/03/20/matematicas-y-neurociencia/

Anuncios

Educación matemática y realismo

En un estudio francés que causó gran revuelo1, se plantearon a alumnos de primaria (7 y 8 años) preguntas del siguiente tipo: “Hay 26 ovejas y 10 cabras en un barco. ¿Qué edad tiene el capitán?” Al analizar las respuestas, sorprendentemente, un porcentaje muy alto del alumnado (80 %) dio una respuesta numérica a la pregunta formulada. Los resultados de evaluaciones internacionales, como el informe PISA, concluyen que el alumnado actual, en general, tiene dificultades para resolver problemas y, en especial, aquellos que están relacionados con situaciones cotidianas (problemas realistas).

La educación matemática actual se entiende como un conjunto de actividades que permiten la resolución de problemas con una finalidad práctica, alejada del aprendizaje tradicional de conceptos y procedimientos abstractos desligados del mundo real. En el siguiente artículo, analizamos la descontextualización de las matemáticas a través de un caso práctico. Comprobamos las dificultades del alumnado para resolver problemas aritméticos verbales y relacionarlos con situaciones prácticas cotidianas, y proponemos posibles soluciones para mejorar la situación.

Un caso práctico

Planteamos por escrito dos preguntas a 43 alumnos del bachillerato de ciencias (etapa preuniversitaria en España). Las dos estaban relacionadas con situaciones prácticas conocidas aunque para la primera se permitía una respuesta razonada, acompañada en caso necesario de los cálculos pertinentes, mientras que la segunda era la típica pregunta tipo test que requería la elección de una de las cuatro respuestas propuestas. Como lo que nos interesaba era el análisis estadístico de la muestra, se indicó a los alumnos que no era necesario dar a conocer su identidad. Los enunciados eran los siguientes:

1) Un atleta corre 1000 m en un tiempo de dos minutos y veinte  segundos. ¿Cuánto tardará en correr 3 km?

2) El recipiente de la figura se está llenando desde un grifo a una velocidad constante. Si la profundidad del agua es de 3,5 cm después de 10 segundos, ¿cuál será la profundidad después de 30 segundos?2 Elige una de las siguientes opciones:

a) 11,5 cm     b) 10,5 cm     c) 23,5 cm     d) Es imposible dar una respuesta precisa

En la primera pregunta, en el enunciado no se comenta que el atleta recorre las dos distancias a una velocidad constante. Por otra parte, es evidente que el ritmo del atleta dependerá de sus reservas energéticas y que en una carrera normal puede verse alterado por dichas reservas. Esto está relacionado con la incapacidad del organismo, en una prueba de esfuerzo máximo, para mantener el ritmo en un recorrido con una distancia suplementaria (en este caso 2 km). Los alumnos conocen esta situación dado que han participado en diferentes pruebas cronometradas en la asignatura de educación física. Respecto a la segunda pregunta, se observa que la forma del recipiente condiciona la existencia de una proporcionalidad directa entre la profundidad del agua y el tiempo transcurrido, es decir, cada 10 segundos sucesivos la profundidad del agua será menor que los 3,5 cm iniciales.

Las respuestas se clasificaron en tres tipos: erróneas, no realistas y realistas. La respuesta  errónea se consideró cuando el alumno no aportó una solución o dio una solución numérica que no correspondía a la predecible (7 minutos en la primera o 10,5 cm en la segunda), es decir, cometió un error de cálculo. La respuesta no realista se consideró aquella que correspondía al cálculo predecible y que no mostró, al menos en la primera pregunta, ningún comentario adicional. Y la respuesta se aceptó como realista si tuvo en cuenta consideraciones realistas o si añadía a la respuesta predecible algún comentario complementario sobre la complejidad de aplicar el enunciado a una situación real. En la segunda pregunta, que era tipo test, esto correspondía a la respuesta d). Los resultados obtenidos se muestran en los siguientes gráficos:

Como observamos en la gráfica de la pregunta 1, hay varios alumnos que cometen errores de cálculo (8, en porcentaje 19 % del total), la gran mayoría da la respuesta rutinaria (34, 79 % del total) y sólo un alumno (2 %) es capaz de aportar una respuesta realista. Estos resultados, independientemente del contexto particular elegido, concuerdan con otros llevados a cabo en diferentes países3, mayoritariamente con alumnos de primaria. Y muestran las dificultades generales de los alumnos para interpretar los enunciados aritméticos verbales relacionados con cuestiones cotidianas, dotarlos de significado e incorporar informaciones “realistas”. Les cuesta aplicar el proceso de modelización matemática, que hace referencia a la aplicación de las matemáticas en la resolución de problemas del mundo real.

En la pregunta 2, introducimos una información adicional en el apartado d) al presentar como opción  la imposibilidad de dar una respuesta precisa. Es evidente que este aviso indirecto hace que el número de respuestas realistas aumente bastante respecto a la anterior pregunta (12, 28 %). Las respuestas erróneas (6, 14 %) y las no realistas (25, 58 %) disminuyen consecuentemente. Estos resultados obtenidos en la pregunta 2 no concuerdan con algunos estudios en los que, aunque se incluía en el inicio de la prueba un aviso explícito sobre el carácter particular de las preguntas planteadas, no se obtenían mejoras sustanciales en favor del alumnado avisado4 (sí que se obtenían mejoras cuando los alumnos tenían que resolver los problemas en contextos experimentales más reales). Esto se puede justificar atendiendo a que la información que aporta la aparición de la respuesta realista, en la pregunta tipo test, resulta un aviso más explícito.

¿Por qué los alumnos no saben resolver problemas realistas?

Tradicionalmente, los problemas verbales han consistido en aplicar operaciones aritméticas sencillas y obtener resultados a partir de cálculos que han excluido el análisis crítico y la comprensión de la situación sin la reflexión adecuada. El entrenamiento continuado de los alumnos en la resolución de problemas que requieren planteamientos rutinarios, conlleva  que no estén preparados para afrontar la resolución de problemas aritméticos verbales que requieren conocimientos del mundo real, como hemos comprobado en el apartado anterior. Desde los primeros años en la infancia, la mayoría de problemas que aparecen en los libros de texto muestran enunciados que eluden la reflexión, favoreciendo la aplicación de procedimientos exclusivamente matemáticos, muchas veces están en contradicción con conocimientos cotidianos adquiridos por los alumnos, presentan respuestas numéricas únicas y eluden el análisis crítico de los resultados5. Tareas rutinarias que van en detrimento de la creatividad y la motivación.

Los estudios con profesores en formación6, demuestran que muchos de estos futuros profesores tienen tendencia a excluir conocimientos prácticos de los enunciados con más aplicaciones. Las creencias del docente sobre cómo se deben resolver los problemas se han arraigado con el paso del tiempo (la imitación es una potente forma de aprendizaje que se transmite de maestro a alumno) y condicionan la interacción con sus alumnos. Tradicionalmente, los alumnos asocian el conocimiento matemático a recordar fórmulas o algoritmos correctos que permitan responder la pregunta planteada por el maestro, que será el encargado de dar el veredicto final sobre la misma. Los nuevos tiempos requieren estrategias diferentes.

Posibles soluciones

A continuación reflexionamos sobre algunos factores que creemos son críticos para mejorar la resolución de problemas realistas:

Menos rutina

Es necesario aumentar la resolución de problemas no rutinarios y eliminar los cálculos que no se correspondan con la vida real. No todos los problemas requieren operaciones aritméticas básicas o conceptos y procedimientos aprendidos recientemente. La variedad en la elección de enunciados correspondientes a situaciones prácticas, que puedan resolverse sin utilizar procedimientos exclusivamente matemáticos, optimiza la motivación del alumno y puede resultar como antídoto eficaz ante los alumnos (nuestra experiencia nos dice que son muchos) que creen que las matemáticas escolares constituyen un artificio desconectado de la realidad.

Más cooperación

Resulta  imprescindible plantear estrategias en el aula que favorezcan el trabajo cooperativo y que permitan la discusión y el análisis colectivo. El trabajo en grupo ayuda a muchos alumnos a superar la desconfianza con la que afrontan las matemáticas, como resultado de creencias propias erróneas (“yo nunca he podido con las matemáticas”,etc.), y el temor a equivocarse7. Al observar el trabajo del grupo realizando una tarea, el docente debería aportar ideas cuando fueran necesarias, estimular la reflexión y la cooperación de todos los compañeros y, en concreto, la de aquellos con más dificultades. Como ya hemos comentado muchas veces, este tipo de estrategias nos lleva a entender el aprendizaje no como una adquisición, sino como una participación. Ni el profesor ni el libro de texto son infalibles.

Soluciones diversas

Los docentes deberíamos inculcar la idea de que no todos los problemas requieren soluciones exactas y únicas. En muchas ocasiones resulta adecuado hacer estimaciones o aproximaciones, todo en beneficio de razonamientos más complejos y en detrimento de análisis superficiales. El aprendizaje de las matemáticas no consiste en dar únicamente una respuesta a la pregunta formulada, sino en dotar de significado a las relaciones que han permitido obtener esa respuesta. Muchas veces damos una importancia excesiva a la memorización como estrategia de aprendizaje y ello resulta contraproducente, al inducir actitudes negativas de parte del alumnado frente a  la asignatura. El exagerado protagonismo que adquieren determinadas fórmulas o algoritmos coarta la búsqueda de soluciones creativas.

El alumno ha de aprender que no todos los datos numéricos que aparezcan en un enunciado se han de utilizar obligatoriamente y que hay que analizar los resultados obtenidos y compararlos con situaciones cotidianas. Asimismo, el docente ha de demostrar la existencia de distintas soluciones y métodos de resolución de los problemas, incentivando análisis alternativos y evitando imponer las soluciones. Como decía Francesco Tonucci, el profesor ha de dejar de garantizar la verdad para garantizar el método8.

Conclusiones finales

La aplicación de las estrategias planteadas requiere esfuerzo, y no sólo para el alumno sino también para el profesorado. Esta es la razón por la que muchas prácticas educativas no se apliquen; nos cuesta mucho cambiar. Pero, como comentábamos en un anterior artículo9, si podemos evitarlo, no reflexionamos sino que confiamos en nuestra memoria.

El enfoque multidisciplinar puede promover la aplicación de conocimientos no matemáticos a la resolución de problemas pero se necesita la aceptación del trabajo cooperativo en el colectivo. Y eso no siempre es posible.

Pero no nos engañemos, la verdadera utilidad de la resolución de problemas matemáticos es el aprendizaje de técnicas que puedan ser aplicadas en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Y el objetivo de todo ser humano es bien conocido. Claudi Alsina lo resume de forma clarificadora: “Enseñar y aprender matemáticas puede y debe ser una experiencia feliz”10.

Jesús C. Guillén

1  Se analiza el caso en: Baruk, Stella, L’age du capitaine. De l’erreur en mathématiques, Seuil, 1985.

2  La segunda pregunta es la misma que realizó el grupo de investigación de Lieven Verschaffel a un grupo de futuros profesores: Verschaffel, L.; “Pre-service teachers conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems”, Learning and Instruction, 4.

3 Constituye un estudio de referencia: Verschaffel, L.; Greer, B.; DeCorte, E. (1994): “Realistic considerations in mathematical modeling of school arithmetic word problems”, Learning and instruction, 4.

4 Yoshida, H.; Verschaffel, L.; De Corte, E. (1997): “Realistic considerations in solving problematic word problems: do Japanese and Belgian children have the same difficulties?”, Learning and Instruction, 7.

5 En la conferencia del reconocido divulgador Claudi Alsina “Si Enrique VIII tuvo seis esposas, ¿cuántas tuvo Enrique IV” se muestra una gran cantidad de enunciados, extraídos de libros de texto, que corresponden a lo que él llama el timo de las realidades matemáticas:

http://www.youtube.com/watch?v=1yuSdFqNTSk

6 Ver nota 2.

7 Algunos de estos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas ya se analizaban en un artículo anterior:

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/03/20/matematicas-y-neurociencia/

8 Tonucci, Francesco, Enseñar o aprender, Losada, 1996. La reseña del libro se encuentra en:

http://escuelaconcerebro.jimdo.com/rese%C3%B1as/ense%C3%B1ar-o-aprender-de-f-tonucci/

9 https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/05/22/luchando-contra-la-propia-naturaleza/

10 Ver nota 5.

Para saber más:

Verschaffel, Lieven: “Los problemas aritméticos verbales y la modelización matemática”. En N. Planas (coord.), Teoría, crítica y práctica de la educación matemática (pags. 27-42), Graó, 2012.

Font, V.; Godino, J. D.; Goñi,  J. M. y Planas, N.: Matemáticas: Investigación, innovación y buenas prácticas, Graó, 2011.

Vicente, S.; Van Dooren, W. y Verschaffel, L. (2008): “Utilizar las matemáticas para resolver problemas reales”, Cultura y Educación, 20.

De Corte, E. y Verschaffel, L.(2003): “El desarrollo de habilidades de autorregulación en la solución de problemas matemáticos”, Pensamiento educativo, 32.