El cerebro matemático en el aula: algunas ideas clave

Es bastante extraño ver que a muchos niños les desagrada las matemáticas, pero si observamos a los más pequeños son muy intuitivos. Hemos visto circuitos en el cerebro que se ocupan de los números, del espacio o la geometría que están presentes en la infancia temprana. Creo que el error en la escuela es enseñarle a los niños que la matemática es muy abstracta, muy complicada. Si basáramos las matemáticas en intuiciones, que ya están presentes en el cerebro del niño, podríamos ayudarles a que las disfruten.

                                                        Stanislas Dehaene

¿Quieres conocer el número del calzado de la persona que tienes al lado y qué edad tiene? Puedes saberlo sin preguntárselo. Dile que escriba en una hoja, sin enseñártela, el número de calzado que utiliza. Que lo multiplique por 2 y que sume 5 al resultado obtenido. Que multiplique esta suma por 50 y que le sume al producto encontrado 1768. Finalmente, que reste a ese número su año de nacimiento. Así habrá obtenido un número de cuatro cifras. Las dos primeras corresponden al número de su calzado y las dos siguientes a los años que cumplirá el 2018.
Cuestiones numéricas como estas causan asombro en estudiantes de todas las etapas educativas (te animamos a descubrir el truco, lo cual puede amplificar el asombro y ser muy productivo) y es que así somos los seres humanos, curiosos por naturaleza, Y no solo eso, sino que nacemos también con ciertas predisposiciones genéticas hacia el aprendizaje, algo especialmente relevante cuando nos adentramos en la educación matemática. Sin embargo, hemos llegado a escuchar a niños de menos de diez años comentarios del tipo: «A mí siempre se me han dado mal las matemáticas», «nunca podré aprobarlas, porque no he nacido para eso» o «hay que ser muy inteligente para entenderlas». ¿Cómo es posible odiar las matemáticas con menos de 10 años? Lo cierto es que esto ocurre y que las dificultades en matemáticas son muy frecuentes en el aula y provocan estrés y ansiedad en muchos estudiantes. Investigaciones recientes en neurociencia centradas en el aprendizaje de las habilidades numéricas (importantes para el aprendizaje matemático inicial) pueden ayudar a mejorar esta situación. Aunque asumimos, por supuesto, que no existen recetas milagrosas ni soluciones educativas únicas.

Intuición numérica en la cuna
Aunque resulta sorprendente, los bebés son capaces de detectar cambios sutiles en las cantidades numéricas mejor que en otros parámetros físicos como, por ejemplo, el tamaño de los objetos. Recién nacidos pueden llegar a distinguir un conjunto de 4 puntos –vinculados a estímulos sonoros– respecto a uno de 12 (proporción 1:3); con 6 meses diferencian un conjunto de 8 puntos respecto a uno de 16 (proporción 1:2; ver video); y con 9 meses distinguen uno de 8 respecto a uno de 12 (proporción 2:3), es decir, muestran un sentido numérico que se va perfeccionando con la edad (Szkudlarek y Brannon, 2017).

Y no solo eso. El bebé nace con mecanismos innatos que le permiten discriminar entre dos o tres objetos sin necesidad de contar y entender operaciones aritméticas elementales en las que intervienen los primeros números naturales. Por ejemplo, en un experimento que se ha replicado varias veces, se mostró a bebés de cinco meses un juguete en un escenario y, a continuación, se subió una pantalla para que lo ocultara. Ante la mirada del bebé, se colocó un segundo juguete detrás de la pantalla y, posteriormente, se descubrió de nuevo. En algunas ocasiones aparecían dos juguetes, lo cual coincide con el resultado lógico (1 + 1 = 2), mientras que en otros casos se mostraba solamente uno, lo que corresponde a un resultado imposible (1 + 1 = 1). En psicología del desarrollo ya se sabía que los bebés pasan más tiempo analizando una situación inesperada o irreal que frente a escenas normales. Y así fue: los bebés dedicaron mucho más tiempo a observar la situación en la que aparecía solo un juguete, que era la que se asociaba al resultado imposible. Y algo parecido ocurre cuando se les muestra a bebés de 9 meses animaciones en las que se observan operaciones del tipo 5 + 5 = 10, frente a 5 + 5 = 5, o 10 – 5 = 5, frente a 10 – 5 = 10 (McCrink y Wynn, 2004; ver figura 1).
Este tipo de experimentos demuestra que nacemos con un sentido numérico rudimentario, que también está presente en otros animales –fundamental en su proceso adaptativo al entorno–, cosa que sugiere que es independiente del lenguaje y que lleva tras de sí una larga historia evolutiva.

Piaget se equivocó¹
Piaget, cuya influencia en la educación y en el desarrollo curricular ha sido incuestionable durante muchos años, sostenía que la adquisición del concepto de número ha de ir precedido de un proceso de reconstrucción cognitiva continuo, alejado de cualquier idea preconcebida sobre la aritmética. Pero las investigaciones neurocientíficas de los últimos años han revelado que cuando el bebé nace su cerebro no es una página en blanco y que los niños en la etapa de Educación Infantil muestran un sentido numérico que les faculta para adentrarse en el terreno de la aritmética sin que se les haya enseñado el lenguaje simbólico asociado a ella.
El sentido numérico que permite a los bebés identificar pequeñas cantidades sin necesidad de contar también les permite comparar cantidades mayores (ver figura 2), un proceso que se irá puliendo progresivamente a lo largo de la infancia. Se cree que la integración de estas dos formas diferentes de representación numérica, una para números pequeños –hasta el tres– y otra intuitiva para números grandes –que nos informa de que cualquier conjunto tiene asociado un número cardinal–, es fundamental para que el niño, en torno a los tres o cuatro años de edad, vaya comprendiendo el concepto de número natural², esencial para el aprendizaje de la aritmética (Dehaene, 2016). Como paso previo a la adquisición de conceptos matemáticos más complejos, el niño infiere que un conjunto posee un número de elementos concreto, por ejemplo 8, y que este número aporta una información diferente de 7 o 9.

Niños de cinco y seis años que no saben sumar se desenvuelven muy bien en operaciones del tipo: «María tiene 21 golosinas y consigue 30 más. Juan tiene 34. ¿Quién tiene más?», referidas a la suma, o «María tiene 64 golosinas y regala 13. Juan tiene 34. ¿Quién tiene más?», referidas a la resta (Gilmore et al, 2007). Esto prueba que son capaces de convertir el planteamiento verbal del problema en cantidades y de pensar en ellas sin que les haga falta realizar cálculos exactos, esto es, poseen una comprensión de la aritmética simbólica basada en una intuición temprana de las magnitudes.

El cerebro matemático
Los estudios con neuroimágenes han confirmado que el pensamiento matemático activa circuitos cerebrales independientes de los que intervienen en el procesamiento del lenguaje (ver figura 3). En concreto, existe una franja específica de la corteza cerebral que se encuentra en los dos hemisferios del lóbulo parietal, el surco intraparietal, que se activa ante cualquier tipo de presentación numérica, sea un conjunto de puntos, un símbolo o una palabra que hace referencia a un número (Amalric y Dehaene, 2016).

Pues bien, durante su desarrollo, el niño aprende a relacionar la representación no simbólica («∎∎∎») asociada a la aproximación, que es independiente del lenguaje, con el sistema de representación simbólico que se le enseña para caracterizar a los números, bien mediante los números arábigos (3, 4…), bien mediante las palabras (tres, cuatro…). Existen evidencias empíricas que demuestran que estos dos sistemas de representación diferentes, uno innato y el otro adquirido, están muy relacionados: los niños que se desenvuelven mejor en tareas no simbólicas del tipo estimaciones o aproximaciones, lo hacen también mejor en las tareas que requieren del lenguaje simbólico, como ocurre con las operaciones aritméticas, y ello predice un mejor rendimiento en la asignatura de matemáticas años después (Wang et al., 2016). No es casualidad que los programas informáticos utilizados con éxito para el tratamiento de la discalculia –dificultad asociada al procesamiento numérico–, como Number Race (ver figura 4) o Rescue Calcularis se basen en el diseño de tareas que integran las competencias numéricas asociadas al conteo con aquellas intuitivas que permiten comparar cantidades (Guillén, 2017). De esta forma se mejora la activación del surco intraparietal –también su conexión con la corteza prefrontal–, que sería para los números el equivalente del área visual de formación de palabras para las letras (para ampliar información leer El cerebro lector: algunas ideas clave).

Y más allá de las correlaciones, existen algunos experimentos, tanto en adultos (Park y Brannon, 2014), como en niños de 6 y 7 años (Hyde et al., 2014), y en niños de entre 3 y 5 años (Park et al., 2016), que sugieren una relación causal entre el entrenamiento centrado en los cálculos aproximados de cantidades (ver figura 5; izda) y el desempeño en los cálculos exactos característicos de las operaciones aritméticas básicas. Una menor incidencia tiene, por ejemplo, el entrenamiento centrado exclusivamente en la comparación de cantidades aproximadas, tareas que trabajan la memoria de trabajo visuoespacial –en las que se han de recordar secuencias de posiciones en una pantalla– o actividades de ordenación de símbolos numéricos (ver figura 5; dcha).

Y si el sistema numérico aproximado influye en el rendimiento académico del alumnado en las matemáticas, también parece hacerlo el conocimiento numérico simbólico, como es el caso de las tareas aritméticas que incluyen los conceptos de cardinal –«¿Cuántos lápices hay sobre la mesa?» – o de ordinal –«Señala el tercer lápiz»–. Introducir actividades informales en la infancia temprana que incluyan los símbolos numéricos, como sucede en multitud de juegos de mesa, constituye una estrategia educativa muy útil que también se puede favorecer en el entorno familiar (Merkley y Ansari, 2016; ver figura 6). En pocas palabras, parece existir una relación bidireccional entre los símbolos y las cantidades. Y esto parece corroborarlo un estudio muy reciente en el que han participado 1540 niños indios en la etapa preescolar (edad promedio 5 años). El entrenamiento de conceptos matemáticos no simbólicos (comparaciones y estimaciones) mejoró habilidades numéricas y espaciales de los niños pero los autores sugieren que, si se quiere incidir más sobre el aprendizaje formal inicial de las matemáticas, estos juegos deben conectar directamente las comparaciones o estimaciones de cantidades con las palabras y símbolos asociados a los números y que serán especialmente beneficiosos cuando se utilicen durante la enseñanza formal de las matemáticas (Dillon et al., 2017).

De la teoría a la práctica
No sabemos cuántos niños de los muchos que manifiestan dificultades en el aprendizaje de la aritmética padecen alteraciones cerebrales identificables. Seguramente, en muchos casos no existe ninguna alteración y el problema reside en que no han recibido la enseñanza adecuada. De hecho, algunos niños, como aquellos que han crecido en entornos socioeconómicos desfavorecidos, muestran déficits en el cálculo aun teniendo un sentido numérico normal, es decir, no pueden acceder a él a través de los símbolos numéricos debido a la peor educación que han recibido (Dehaene, 2016). La pregunta que nos planteamos es: ¿qué puede hacer la escuela al respecto? Analicemos algunas cuestiones que creemos que pueden ser relevantes porque facilitan el desarrollo del sentido numérico del niño.

Fomentando la intuición numérica
Hemos visto que operaciones como sumas y restas simples, estimaciones numéricas, comparaciones o el conteo emergen de forma espontánea en los niños, razón por la cual tendría que aprovecharse esta capacidad numérica intuitiva que forma parte de nuestra estructura cerebral, en lugar de introducir las matemáticas como una disciplina abstracta. Lo importante no es enseñar recetas aritméticas –en su mayor parte, repetitivas y descontextualizadas–, sino ir asociando el cálculo a su significado explícito. En definitiva, aprovechar el bagaje informal de que disponen los niños. Por ejemplo, podemos utilizar tarjetas con círculos o agujeros dispuestos de forma ordenada o aleatoria (ver figura 7) y preguntarles a los niños, sin necesidad de contar, por ejemplo, cuántos puntos hay en una tarjeta, que elijan tarjetas que tienen el mismo número de puntos o que comparen el número de dos de ellas. Incluso se pueden disponer los puntos formando figuras para que los niños vayan visualizando la relación entre los números y las formas geométricas.

De lo concreto a lo abstracto (y no al revés)
Cualquier actividad se puede utilizar para que los niños vayan desarrollando el razonamiento matemático y la comprensión numérica si les vamos haciendo preguntas sobre lo que están haciendo. Así, por ejemplo, con una colección de lápices se les puede preguntar cuántos hay, cuántos hay de cada color, cuál es el más largo y cuál es el más corto o si de un color hay más lápices que de otro.
Es muy importante que los niños vayan asociando los números con objetos concretos de la vida real. Así, por ejemplo, una bicicleta tiene dos ruedas, un triciclo tres y un coche cuatro o una persona tiene dos piernas y el perro cuatro patas. Y así podemos animar al niño para que encuentre o describa otras cosas con un número determinado de partes, como los tres colores de un semáforo.
Otra forma útil de acercar el conocimiento matemático al mundo real es la de realizar actividades en las que el niño ordena y clasifica elementos. Por ejemplo, podemos mostrarle diferentes tipos de manzanas y pedirle que elija las rojas o que coloque en un recipiente las rojas y en otro las verdes o, si todas son del mismo color, que coloque en un recipiente las más grandes y en otro las más pequeñas.

¡A jugar!
Hay muchas actividades que pueden utilizarse para mejorar el conteo. Por ejemplo, para reforzar el principio cardinal mediante el cual el niño entiende que el último número contado es el que indica el número de elementos del conjunto, se pueden utilizar fichas con caras de diferentes colores. Y se le puede preguntar al niño cuantas hay de un color determinado.
El juego es un mecanismo natural imprescindible para el aprendizaje y es especialmente importante en matemáticas, tal como comentábamos anteriormente. Podemos jugar a que el niño adivine un número y lo vamos guiando con un “más” o “menos”, o utilizar juegos de Lego o similares para pedirle que añada piezas del conjunto pequeño al más grande hasta que tengan el mismo número o al revés, o ábacos o juegos de mesa para entrenar el sistema de representación numérico y su relación espacial, o utilizar programas informáticos como Number Worlds o Number Race.
Relacionado con esto, se ha comprobado también la importancia del factor familiar. Leer cuentos con contenido matemático explícito que invita a reflexionar a los niños –como en el caso de la aplicación Bedtime Math– mejora su rendimiento académico en la etapa de primaria (Berkowitz et al., 2015). Y es que recursos como los lúdicos o artísticos son verdaderamente efectivos cuando inciden de forma explícita en los contenidos matemáticos, tal como ocurre cuando se adoptan programas curriculares basados en juegos interactivos que utilizan una gran variedad de materiales pedagógicos (Clements y Sarama, 2011; ver figura 8).

No existen dogmas
Muchas veces, por ejemplo, se considera inadecuado que el niño cuente con los dedos. Sin embargo, sabemos que contar con los dedos es un precursor importante para aprender la base 10, que el entrenamiento con los dedos mejora las habilidades matemáticas y que aquellos que mejor saben manejarlos obtendrán después mejores resultados en cálculos numéricos (Gracia-Bafalluy y Noël, 2008).
Del mismo modo, se suele considerar un error que el niño resuelva una operación aritmética básica del tipo 5 + 6 = 11 de forma indirecta y no de memoria –pensando, por ejemplo, que 5 + 5 es 10 y que 6 es una unidad más que 5–. Todo ello coarta la creatividad del alumnado y va convirtiendo las matemáticas iniciales en un cálculo exclusivamente mecánico. Esa es la razón por la que un niño de seis años puede responder de forma inmediata, sin realizar ningún cálculo, que 7 es el resultado de la operación 7 + 4 – 4, mientras que uno de nueve años, con mucha mayor experiencia, tiende a realizar el cálculo completo (7 + 4 = 11 y 11 – 4 = 7) porque le parece que es lo adecuado. Y despreciar las habilidades tempranas de los niños puede perjudicar su opinión posterior alrededor de las matemáticas –cosa que no suele ocurrir al principio de la Educación Primaria– y hacer que se desencadenen reacciones emocionales negativas asociadas a la ansiedad y el estrés, las cuales ocasionan muchos estereotipos y percepciones erróneas en los alumnos sobre su propia capacidad, que a menudo se mantendrán a lo largo de la vida. Por cierto, se ha comprobado que los adolescentes que muestran ansiedad ante las matemáticas obtienen mejores resultados en los exámenes si escriben sobre sus sentimientos y preocupaciones durante diez minutos antes de realizar las pruebas (Ramírez y Beilock, 2011; ver figura 9).

Matemáticas reales
En la práctica, la mejor forma para prevenir y combatir las opiniones negativas de los alumnos sobre las matemáticas es vincular su aprendizaje a situaciones concretas de la vida real, y no a conceptos abstractos. Por ejemplo, consideremos la resta 7 – 3 = 4. Los adultos podemos asimilar esa situación a una gran variedad de casos prácticos: si en un recorrido de 7 km hemos caminado 3 km, nos faltarán otros 4 km; si una temperatura inicial de 7 ºC desciende 3 ºC, la temperatura final será de 4 ºC, etc. El día que se introducen los números negativos y el profesor escribe 3 – 7 = –4, el niño puede tener dificultades para entender el significado del cálculo. En este caso, la temperatura le puede aportar una imagen intuitiva más eficaz que la distancia –concebir –4 ºC facilita el aprendizaje del concepto, al lado de –4 km– La mayoría de los niños están encantados de aprender matemáticas cuando se vincula su conocimiento a situaciones cotidianas y se resaltan sus aspectos divertidos. Y todo ello, antes del aprendizaje de los conceptos abstractos, que se irán adquiriendo de forma paulatina. Sin olvidar la relevancia del profesorado en este proceso. En un interesante estudio, se comprobó que el aprendizaje durante el curso escolar de niños de cuatro años mejoró ostensiblemente cuando el docente hablaba continuamente sobre cuestiones numéricas (Klibanoff et al., 2006).

Mentalidad de crecimiento en el aula
Sabemos que las creencias propias del alumno sobre su capacidad, muchas veces condicionadas por experiencias personales negativas, influyen de forma determinante en su aprendizaje. El proceso se amplifica en el caso concreto de las matemáticas debido a la creencia generalizada de que se requiere un talento específico para su dominio. Pero como ocurre en cualquier otra disciplina, no existen determinismos genéticos. De hecho, se han aplicado ya ciertas técnicas de estimulación eléctrica transcraneal no invasivas que mejoran el desempeño aritmético de niños con dificultades de aprendizaje (Looi et al., 2017). Cuánto daño han hecho –y siguen haciendo– las famosas etiquetas o estereotipos que chocan con lo que sabemos hoy día sobre nuestro cerebro plástico en continua transformación y que dañan gravemente las creencias del alumno sobre su propia capacidad. Sin olvidar que hay evidencias empíricas muy recientes que demuestran que no existen diferencias de género en la adquisición de las competencias matemáticas (Hutchison et al., 2018).
Los números poseen un significado para nosotros, como lo tienen las palabras, y en los dos casos aprovechamos nuestras capacidades innatas para ir desarrollando esta comprensión. Nacer con este sentido numérico innato no nos convierte per se en excelentes matemáticos, pero sí que facilita el proceso de comprensión de las matemáticas. Y, por supuesto, a pesar de lo que en su día dijera Piaget, no hay ninguna necesidad de esperar hasta los siete años para que el niño reciba sus primeras enseñanzas sobre aritmética.
Jesús C. Guillén

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¹ Una revisión más exhaustiva sobre los planteamientos erróneos de Piaget vinculados al aprendizaje de la aritmética la puedes encontrar en la referencia Guillén, 2015.

² El concepto de número natural se va desarrollando lentamente y es anterior al conteo. Niños de 3 años son capaces de diferenciar, por ejemplo, cinco objetos de seis, utilizando la correspondencia uno a uno. Pero no captan la lógica básica del número natural (+1,-1, es decir, añado un objeto o quito uno). Con 4 años, aproximadamente, van captando la esencia de los números naturales a la vez que van entendiendo el significado de las palabras asociadas a los números y el procedimiento utilizado para el conteo (Izard et al., 2014)

Referencias:
1. Amalric M., Dehaene S. (2016). Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians. PNAS 113(18), 4909-4917.
2. Ansari D. (2016). The neural roots of mathematical expertise. PNAS 113(18), 4887-4889.
3. Berkowitz T. et al. (2015). Math at home adds up to achievement in school. Science 350 (6257), 196-198.
4. Clements D., Sarama J. (2011). Early childhood mathematics intervention. Science 333, 968-970.
5. Dehaene S. (2016). El cerebro matemático: Como nacen, viven y a veces mueren los números en nuestra mente. Buenos Aires: Siglo Veintiuno.
6. Dillon M. R. et al. (2017). Cognitive science in the field: A preschool intervention durably enhances intuitive but not formal mathematics. Science 357 (6346), 47-55.
7. Gilmore C., McCarthy S. E., Spelke E. S. (2007). Symbolic arithmetic knowledge without instruction. Nature 447, 589-591.
8. Gracia-Bafalluy M., Noël M. P. (2008). Does finger training increase young children’s numerical performance? Cortex 44 (4), 368-375.
9. Guillén J. C. (2015). Y ¿si Piaget se equivocara con las matemáticas? En Neuromitos en educación: el aprendizaje desde la neurociencia, 73-93. Barcelona: Plataforma Actual.
10. Guillén J. C. (2017). Neuroeducación en el aula: de la teoría a la práctica. UK: CreateSpace.
11. Hyde D. et al. (2014). Brief non-symbolic, approximate number practice enhances subsequent exact symbolic arithmetic in children. Cognition 131, 92-107.
12. Hutchison J., Lyons I., Ansari D. (2018). More similar than different: Gender differences in basic numeracy are the exception, not the rule. Child Development.
13. Izard V., Streri A., Spelke E. (2014). Toward exact number: Young children use one-to-one correspondence to measure set identity but not numerical equality. Cognitive Psychology 72, 27-53.
14. Klibanoff R. S. et al. (2006). Preschool children’s mathematical knowledge: The effect of teacher ‘math talk’. Developmental Psychology 42, 59-69.
15. Looi C. Y. et al. (2017). Transcranial random noise stimulation and cognitive training to improve learning and cognition of the atypically developing brain: A pilot study. Scientific Reports 7(1), 4633.
16. McCrink K., Wynn K. (2004). Large-number addition and subtraction by 9-month-old infants. Psychological Science 15, 776-781.
17. Merkley R., Ansari D. (2016). Why numerical symbols count in the development of mathematical skills: evidence from brain and behavior. Current Opinion in Behavioral Sciences 10, 14-20.
18. Park J., Brannon E. M. (2014). Improving arithmetic performance with number sense training: An investigation of underlying mechanism. Cognition 133(1), 188-200.
19. Park J. et al. (2016). Non-symbolic approximate arithmetic training improves math performance in preschoolers. Journal of Experimental Child Psychology 152, 278-293.
20. Ramírez G., y Beilock S. L. (2011). Writing about testing worries boosts exam performance in the classroom. Science 331, 211-213.
21. Szkudlarek E., Brannon E. M. (2017). Does the approximate number system serve as a foundation for symbolic mathematics? Language Learning and Development 13(2), 171-190.
22. Wang J. J. et al. (2016). Changing the precision of preschoolers’ approximate number system representations changes their symbolic math performance. Journal of Experimental Child Psychology 147, 82-99.

Educación matemática y realismo

En un estudio francés que causó gran revuelo¹, se plantearon a alumnos de primaria (7 y 8 años) preguntas del siguiente tipo: “Hay 26 ovejas y 10 cabras en un barco. ¿Qué edad tiene el capitán?” Al analizar las respuestas, sorprendentemente, un porcentaje muy alto del alumnado (80 %) dio una respuesta numérica a la pregunta formulada. Los resultados de evaluaciones internacionales, como el informe PISA, concluyen que el alumnado actual, en general, tiene dificultades para resolver problemas y, en especial, aquellos que están relacionados con situaciones cotidianas (problemas realistas).

La educación matemática actual se entiende como un conjunto de actividades que permiten la resolución de problemas con una finalidad práctica, alejada del aprendizaje tradicional de conceptos y procedimientos abstractos desligados del mundo real. En el siguiente artículo, analizamos la descontextualización de las matemáticas a través de un caso práctico. Comprobamos las dificultades del alumnado para resolver problemas aritméticos verbales y relacionarlos con situaciones prácticas cotidianas, y proponemos posibles soluciones para mejorar la situación.

Un caso práctico

Planteamos por escrito dos preguntas a 43 alumnos del bachillerato de ciencias (etapa preuniversitaria en España). Las dos estaban relacionadas con situaciones prácticas conocidas aunque para la primera se permitía una respuesta razonada, acompañada en caso necesario de los cálculos pertinentes, mientras que la segunda era la típica pregunta tipo test que requería la elección de una de las cuatro respuestas propuestas. Como lo que nos interesaba era el análisis estadístico de la muestra, se indicó a los alumnos que no era necesario dar a conocer su identidad. Los enunciados eran los siguientes:

1) Un atleta corre 1000 m en un tiempo de dos minutos y veinte  segundos. ¿Cuánto tardará en correr 3 km?

2) El recipiente de la figura se está llenando desde un grifo a una velocidad constante. Si la profundidad del agua es de 3,5 cm después de 10 segundos, ¿cuál será la profundidad después de 30 segundos?² Elige una de las siguientes opciones:

a) 11,5 cm     b) 10,5 cm     c) 23,5 cm     d) Es imposible dar una respuesta precisa

En la primera pregunta, en el enunciado no se comenta que el atleta recorre las dos distancias a una velocidad constante. Por otra parte, es evidente que el ritmo del atleta dependerá de sus reservas energéticas y que en una carrera normal puede verse alterado por dichas reservas. Esto está relacionado con la incapacidad del organismo, en una prueba de esfuerzo máximo, para mantener el ritmo en un recorrido con una distancia suplementaria (en este caso 2 km). Los alumnos conocen esta situación dado que han participado en diferentes pruebas cronometradas en la asignatura de educación física. Respecto a la segunda pregunta, se observa que la forma del recipiente condiciona la existencia de una proporcionalidad directa entre la profundidad del agua y el tiempo transcurrido, es decir, cada 10 segundos sucesivos la profundidad del agua será menor que los 3,5 cm iniciales.

Las respuestas se clasificaron en tres tipos: erróneas, no realistas y realistas. La respuesta  errónea se consideró cuando el alumno no aportó una solución o dio una solución numérica que no correspondía a la predecible (7 minutos en la primera o 10,5 cm en la segunda), es decir, cometió un error de cálculo. La respuesta no realista se consideró aquella que correspondía al cálculo predecible y que no mostró, al menos en la primera pregunta, ningún comentario adicional. Y la respuesta se aceptó como realista si tuvo en cuenta consideraciones realistas o si añadía a la respuesta predecible algún comentario complementario sobre la complejidad de aplicar el enunciado a una situación real. En la segunda pregunta, que era tipo test, esto correspondía a la respuesta d). Los resultados obtenidos se muestran en los siguientes gráficos:

Como observamos en la gráfica de la pregunta 1, hay varios alumnos que cometen errores de cálculo (8, en porcentaje 19 % del total), la gran mayoría da la respuesta rutinaria (34, 79 % del total) y sólo un alumno (2 %) es capaz de aportar una respuesta realista. Estos resultados, independientemente del contexto particular elegido, concuerdan con otros llevados a cabo en diferentes países³, mayoritariamente con alumnos de primaria. Y muestran las dificultades generales de los alumnos para interpretar los enunciados aritméticos verbales relacionados con cuestiones cotidianas, dotarlos de significado e incorporar informaciones “realistas”. Les cuesta aplicar el proceso de modelización matemática, que hace referencia a la aplicación de las matemáticas en la resolución de problemas del mundo real.

En la pregunta 2, introducimos una información adicional en el apartado d) al presentar como opción  la imposibilidad de dar una respuesta precisa. Es evidente que este aviso indirecto hace que el número de respuestas realistas aumente bastante respecto a la anterior pregunta (12, 28 %). Las respuestas erróneas (6, 14 %) y las no realistas (25, 58 %) disminuyen consecuentemente. Estos resultados obtenidos en la pregunta 2 no concuerdan con algunos estudios en los que, aunque se incluía en el inicio de la prueba un aviso explícito sobre el carácter particular de las preguntas planteadas, no se obtenían mejoras sustanciales en favor del alumnado avisado⁴ (sí que se obtenían mejoras cuando los alumnos tenían que resolver los problemas en contextos experimentales más reales). Esto se puede justificar atendiendo a que la información que aporta la aparición de la respuesta realista, en la pregunta tipo test, resulta un aviso más explícito.

¿Por qué los alumnos no saben resolver problemas realistas?

Tradicionalmente, los problemas verbales han consistido en aplicar operaciones aritméticas sencillas y obtener resultados a partir de cálculos que han excluido el análisis crítico y la comprensión de la situación sin la reflexión adecuada. El entrenamiento continuado de los alumnos en la resolución de problemas que requieren planteamientos rutinarios, conlleva  que no estén preparados para afrontar la resolución de problemas aritméticos verbales que requieren conocimientos del mundo real, como hemos comprobado en el apartado anterior. Desde los primeros años en la infancia, la mayoría de problemas que aparecen en los libros de texto muestran enunciados que eluden la reflexión, favoreciendo la aplicación de procedimientos exclusivamente matemáticos, muchas veces están en contradicción con conocimientos cotidianos adquiridos por los alumnos, presentan respuestas numéricas únicas y eluden el análisis crítico de los resultados⁵. Tareas rutinarias que van en detrimento de la creatividad y la motivación.

Los estudios con profesores en formación⁶, demuestran que muchos de estos futuros profesores tienen tendencia a excluir conocimientos prácticos de los enunciados con más aplicaciones. Las creencias del docente sobre cómo se deben resolver los problemas se han arraigado con el paso del tiempo (la imitación es una potente forma de aprendizaje que se transmite de maestro a alumno) y condicionan la interacción con sus alumnos. Tradicionalmente, los alumnos asocian el conocimiento matemático a recordar fórmulas o algoritmos correctos que permitan responder la pregunta planteada por el maestro, que será el encargado de dar el veredicto final sobre la misma. Los nuevos tiempos requieren estrategias diferentes.

Posibles soluciones

A continuación reflexionamos sobre algunos factores que creemos son críticos para mejorar la resolución de problemas realistas:

Menos rutina

Es necesario aumentar la resolución de problemas no rutinarios y eliminar los cálculos que no se correspondan con la vida real. No todos los problemas requieren operaciones aritméticas básicas o conceptos y procedimientos aprendidos recientemente. La variedad en la elección de enunciados correspondientes a situaciones prácticas, que puedan resolverse sin utilizar procedimientos exclusivamente matemáticos, optimiza la motivación del alumno y puede resultar como antídoto eficaz ante los alumnos (nuestra experiencia nos dice que son muchos) que creen que las matemáticas escolares constituyen un artificio desconectado de la realidad.

Más cooperación

Resulta  imprescindible plantear estrategias en el aula que favorezcan el trabajo cooperativo y que permitan la discusión y el análisis colectivo. El trabajo en grupo ayuda a muchos alumnos a superar la desconfianza con la que afrontan las matemáticas, como resultado de creencias propias erróneas (“yo nunca he podido con las matemáticas”,etc.), y el temor a equivocarse⁷. Al observar el trabajo del grupo realizando una tarea, el docente debería aportar ideas cuando fueran necesarias, estimular la reflexión y la cooperación de todos los compañeros y, en concreto, la de aquellos con más dificultades. Como ya hemos comentado muchas veces, este tipo de estrategias nos lleva a entender el aprendizaje no como una adquisición, sino como una participación. Ni el profesor ni el libro de texto son infalibles.

Soluciones diversas

Los docentes deberíamos inculcar la idea de que no todos los problemas requieren soluciones exactas y únicas. En muchas ocasiones resulta adecuado hacer estimaciones o aproximaciones, todo en beneficio de razonamientos más complejos y en detrimento de análisis superficiales. El aprendizaje de las matemáticas no consiste en dar únicamente una respuesta a la pregunta formulada, sino en dotar de significado a las relaciones que han permitido obtener esa respuesta. Muchas veces damos una importancia excesiva a la memorización como estrategia de aprendizaje y ello resulta contraproducente, al inducir actitudes negativas de parte del alumnado frente a  la asignatura. El exagerado protagonismo que adquieren determinadas fórmulas o algoritmos coarta la búsqueda de soluciones creativas.

El alumno ha de aprender que no todos los datos numéricos que aparezcan en un enunciado se han de utilizar obligatoriamente y que hay que analizar los resultados obtenidos y compararlos con situaciones cotidianas. Asimismo, el docente ha de demostrar la existencia de distintas soluciones y métodos de resolución de los problemas, incentivando análisis alternativos y evitando imponer las soluciones. Como decía Francesco Tonucci, el profesor ha de dejar de garantizar la verdad para garantizar el método⁸.

Conclusiones finales

La aplicación de las estrategias planteadas requiere esfuerzo, y no sólo para el alumno sino también para el profesorado. Esta es la razón por la que muchas prácticas educativas no se apliquen; nos cuesta mucho cambiar. Pero, como comentábamos en un anterior artículo⁹, si podemos evitarlo, no reflexionamos sino que confiamos en nuestra memoria.

El enfoque multidisciplinar puede promover la aplicación de conocimientos no matemáticos a la resolución de problemas pero se necesita la aceptación del trabajo cooperativo en el colectivo. Y eso no siempre es posible.

Pero no nos engañemos, la verdadera utilidad de la resolución de problemas matemáticos es el aprendizaje de técnicas que puedan ser aplicadas en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Y el objetivo de todo ser humano es bien conocido. Claudi Alsina lo resume de forma clarificadora: “Enseñar y aprender matemáticas puede y debe ser una experiencia feliz”¹⁰.

Jesús C. Guillén

¹  Se analiza el caso en: Baruk, Stella, L’age du capitaine. De l’erreur en mathématiques, Seuil, 1985.

²  La segunda pregunta es la misma que realizó el grupo de investigación de Lieven Verschaffel a un grupo de futuros profesores: Verschaffel, L.; “Pre-service teachers conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems”, Learning and Instruction, 4.

³ Constituye un estudio de referencia: Verschaffel, L.; Greer, B.; DeCorte, E. (1994): “Realistic considerations in mathematical modeling of school arithmetic word problems”, Learning and instruction, 4.

⁴ Yoshida, H.; Verschaffel, L.; De Corte, E. (1997): “Realistic considerations in solving problematic word problems: do Japanese and Belgian children have the same difficulties?”, Learning and Instruction, 7.

⁵ En la conferencia del reconocido divulgador Claudi Alsina “Si Enrique VIII tuvo seis esposas, ¿cuántas tuvo Enrique IV” se muestra una gran cantidad de enunciados, extraídos de libros de texto, que corresponden a lo que él llama el timo de las realidades matemáticas:

http://www.youtube.com/watch?v=1yuSdFqNTSk

⁶ Ver nota 2.

⁷ Algunos de estos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas ya se analizaban en un artículo anterior:

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/03/20/matematicas-y-neurociencia/

⁸ Tonucci, Francesco, Enseñar o aprender, Losada, 1996. La reseña del libro se encuentra en:

http://escuelaconcerebro.jimdo.com/rese%C3%B1as/ense%C3%B1ar-o-aprender-de-f-tonucci/

⁹ https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/05/22/luchando-contra-la-propia-naturaleza/

¹⁰ Ver nota 5.

Para saber más:

Verschaffel, Lieven: “Los problemas aritméticos verbales y la modelización matemática”. En N. Planas (coord.), Teoría, crítica y práctica de la educación matemática (pags. 27-42), Graó, 2012.

Font, V.; Godino, J. D.; Goñi,  J. M. y Planas, N.: Matemáticas: Investigación, innovación y buenas prácticas, Graó, 2011.

Vicente, S.; Van Dooren, W. y Verschaffel, L. (2008): “Utilizar las matemáticas para resolver problemas reales”, Cultura y Educación, 20.

De Corte, E. y Verschaffel, L.(2003): “El desarrollo de habilidades de autorregulación en la solución de problemas matemáticos”, Pensamiento educativo, 32.

Matemáticas y Neurociencia

En 1992, Karen Wynn  realizó una serie de experimentos con bebés de cinco meses¹. En uno de ellos, enseñó a los bebés un juguete que escondía tras una pantalla. A continuación, los bebés observaban cómo escondía un segundo juguete en el mismo lugar. Al cabo de unos segundos la investigadora apartaba la pantalla y cronometraba el tiempo que los bebés miraban. Observó que si al retirar la pantalla aparecía un juguete (resultado no posible, 1+1=1) los bebés miraban durante un período de tiempo mayor que cuando aparecían dos juguetes (resultado lógico 1+1=2). Este tipo de experimentos, que se han repetido en numerosas ocasiones, sugieren que los bebés poseen una capacidad innata para el procesamiento numérico. ¿Aprovecha la educación este sentido innato del cerebro para fomentar un aprendizaje adecuado de las matemáticas? En el siguiente artículo analizamos algunos estudios que, utilizando las técnicas modernas de visualización cerebral, nos permiten observar las regiones más activas en la resolución de problemas matemáticos, principalmente numéricos. A continuación, reflexionamos sobre algunos factores críticos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

El cerebro matemático

Diversos experimentos muestran una gran activación de los lóbulos frontal y parietal en la resolución  de problemas. Stanislas Dehaene y sus colaboradores enseñaron una serie de cálculos a voluntarios bilingües en uno de sus idiomas². Tras el entrenamiento, se les pedía que resolvieran ese tipo de cálculos de forma exacta o aproximada en las dos lenguas. Los investigadores observaron que la resolución de problemas exactos era más rápida en la lengua que utilizaron al aprender los cálculos, aunque utilizaran más la otra lengua en la vida cotidiana. Sin embargo, en los cálculos aproximados (se les pedía a los voluntarios que hicieran estimaciones) no se apreciaban diferencias significativas. En los cálculos exactos se observaba una mayor activación en las áreas del cerebro involucradas en el lenguaje, mientras que en los cálculos aproximados se activaba más el lóbulo parietal de los dos hemisferios.

En las imágenes, se muestra en azul las regiones activadas en el cálculo  exacto y en amarillo las zonas activadas en el cálculo aproximado. Se observa un predominio de la activación de la corteza prefrontal izquierda (azul) y de la parte derecha del lóbulo parietal (amarillo).2

Análisis posteriores sugieren que la información numérica puede ser procesada en el cerebro mediante tres sistemas diferentes, cada uno de ellos asociado con tres regiones del lóbulo parietal³:

1. Sistema verbal en el que los números se representan mediante palabras. Por ejemplo, cuarenta y tres. Se activa el giro angular izquierdo que interviene en los cálculos exactos.

2. Sistema visual en el que los números se representan según una asociación de números arábigos conocidos. Por ejemplo, 43. Se activa un sistema superior posterior parietal relacionado con la atención.

3. Sistema cuantitativo no verbal en el que podemos establecer los valores de los números. Por ejemplo, entendemos el significado del número cuarenta y tres generado por cuatro decenas y tres unidades. En este sistema participa la región más activa e importante en la resolución de problemas numéricos, el segmento horizontal del surco intraparietal (HIPS). Su activación aumenta más cuando se hace una estimación de un resultado aproximado que no cuando realizamos un cálculo exacto. En la aproximación, aunque se activan los dos hemisferios cerebrales, existe una cierta preferencia por el derecho.

Representación tridimensional de las tres regiones del lóbulo parietal que intervienen en los procesamientos numéricos (en verde el giro angular izquierdo y en rojo el surco intraparietal)3 El lóbulo parietal es muy importante en la vida cotidiana porque facilita la representación espacial.

Analicemos alguna operación concreta. En las multiplicaciones (sabemos que los niños aprenden de memoria las tablas de multiplicar) se activa el giro angular izquierdo que pertenece al sistema verbal, es decir, son codificadas verbalmente. Sin embargo, al hacer comparaciones o estimaciones se activa el surco intraparietal  porque no necesitamos convertir los números en palabras, es decir, son independientes del lenguaje. El hemisferio izquierdo calcula (recordemos que en la mayoría de personas, al ser diestras, el lenguaje reside en el hemisferio izquierdo) mientras que el hemisferio derecho hace estimaciones.

En relación a la función que desempeña el lóbulo parietal en la representación espacial, hemos escuchado a matemáticos explicar la utilización de imágenes mentales en la resolución repentina de problemas. Esto guarda relación directa con el concepto de “insight” (ver artículo anterior /insight/) que hace referencia a la capacidad de comprender la estructura interna de un problema que, muchas veces, aparece de forma imprevisible. La comprensión de los mecanismos inconscientes que facilitan este tipo de resoluciones tendrá enormes implicaciones en la forma de enseñar, aunque lo que ya conocemos es que para que se produzca el “insight” se requiere un estado de relajación cerebral. Una razón más para facilitar los estados exentos de estrés en los entornos educativos.

Algunos factores críticos en la enseñanza de las matemáticas

1. Creencias previas y factores emocionales

Comentarios típicos como “nunca entendí las matemáticas” o ”no se me dan bien las matemáticas” se han asentado, progresivamente, en la mente de muchos alumnos y recalcan la importancia que tienen las creencias previas y la inteligencia emocional en el aprendizaje.

Fomentar un clima educativo que favorezca las emociones positivas (facilitando factores como el optimismo o la resiliencia), en detrimento de las negativas, es tan importante o más que la aportación de contenidos puramente académicos.

La pedagogía utilizada en la fase inicial del aprendizaje de las matemáticas incide directamente en la motivación del alumno. El rechazo inicial provocado en muchos niños guarda una relación directa, en numerosas ocasiones, con una enseñanza basada en infinidad de cálculos mecánicos que coartan el proceso intelectual creativo del alumno y en una representación de la terminología incomprensible para él.

Ejemplo: Consideremos la resta 8 – 3 = 5. Los adultos podemos asimilar esa situación a una gran variedad de casos prácticos, por ejemplo, si en un recorrido de ocho kilómetros hemos caminado tres nos faltarán otros cinco; si una temperatura inicial de ocho grados desciende tres, la temperatura final será de cinco grados,…El día que se introducen los números negativos y el profesor escribe 3 – 8 = -5, el niño puede tener dificultades para entender el significado del cálculo. En este caso, la temperatura  le puede aportar una imagen intuitiva más eficaz que la distancia (- 5 grados facilita el aprendizaje del concepto, en lugar de -5 kilómetros).

2. El papel del profesor

Ya hemos comentado que diferentes estudios parecen demostrar que los seres humanos nacemos con un sentido numérico innato. Según Dehaene⁴ y Butterworth⁵, dos de los grandes expertos mundiales en el estudio de las matemáticas y el cerebro, la escuela obstaculiza este desarrollo facilitado, inicialmente, por factores genéticos. Dehaene  cree que la construcción de los conceptos abstractos ha de iniciarse con la formulación de ejemplos concretos, con la finalidad de estimular el desarrollo del razonamiento intuitivo del niño. Además, la interacción con la mente del alumno requiere la manipulación de materiales y actividades lúdicas.

Ejemplo: La utilización de algunos juegos de mesa puede ser de gran utilidad. En concreto, se ha demostrado que el aprendizaje del ajedrez puede mejorar el cálculo mental, el razonamiento intuitivo, la memoria, la capacidad de abstracción o la concentración.

 La recomendación de facilitar el desarrollo intuitivo guarda relación directa con el concepto del “insight” en el que la intuición y los mecanismos de resolución inconscientes desempeñan un papel fundamental (ver artículo anterior, educacion-del-inconsciente). El excesivo énfasis en conceptos abstractos, sin utilidad práctica aparente, y la memorización rutinaria de algoritmos perjudica la evolución y motivación del alumno.

Ejemplo: Si pedimos a niños de seis y diez años de edad que nos calculen la sencilla operación  6 + 4 – 4  podemos comprobar que, a menudo, los niños de seis años responden 6 sin necesidad de realizar cálculo alguno. Sin embargo los niños de diez años, que son más expertos, pueden realizar el cálculo en su hoja (6 + 4 = 10 y luego 10 – 4 = 6).

 Por otra parte, los docentes hemos de intentar presentar contenidos abiertos que faciliten el establecimiento de relaciones y la generación de ideas; así como guiar el proceso de evolución del alumno poniendo a su disposición mecanismos de autocorrección que les permitan ser conscientes de sus razonamientos acertados o no. “¿Qué piensas sobre…?” Los docentes deberíamos facilitar procesos de resolución alternativos que fomenten los razonamientos creativos.

“¿Y esto para que sirve? ” Uno de los grandes problemas de la enseñanza de las  matemáticas (podemos generalizar a todas las materias) está asociado a la impartición de contenidos académicos exentos de toda utilidad y aplicación práctica.

Ejemplo: La aceleración de un coche se puede entender como la derivada o variación de una magnitud conocida como la velocidad respecto a otra magnitud que es el tiempo. La aceleración puede ser positiva cuando se da un aumento de la velocidad, negativa si la velocidad disminuye o nula si la velocidad es constante, es decir, no varía. Un ejemplo cercano como este nos puede servir para introducir el apartado de las derivadas de funciones, en lugar de comenzar con una serie de reglas mecánicas que el alumno puede entender como arbitrarias.

Una simple explicación puede facilitar el proceso de atención. Además, sabemos que el funcionamiento de la memoria de trabajo está limitada por la atención que prestamos a los objetos.

Ejemplo: En dos ecuaciones formalmente idénticas como las siguientes, en la segunda se cometen más errores porque aumenta la carga de la memoria de trabajo en las fracciones⁶:

x + 6 = 9 → x = 9 + 6

x + 6/5 = 9/4 → x = 9/4 + 6/5

Un ejemplo que demuestra la importancia del análisis de los errores cometidos.

Conclusiones finales

Hemos constatado que la localización del conocimiento matemático en el cerebro es complicada porque incluye diferentes circuitos que pueden actuar de forma parcialmente autónoma.  Lo cierto es que los diferentes campos de estudio de las matemáticas requieren enfoques dependientes. Por ejemplo, existe una conexión entre aritmética y geometría (pensemos en la visualización espacial de los números utilizados en las operaciones aritméticas básicas). La utilización de diferentes áreas cerebrales en el proceso de aprendizaje diversifica las estrategias pedagógicas aunque, a pesar de la dificultad, lo que parece claro es que el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas cambiará y deberá considerar la base empírica que aportan las investigaciones en neurociencia. La multimodalidad propuesta por Gallese y Lakoff ⁷ representa una nueva concepción del pensamiento que puede acaparar en el futuro un gran protagonismo. Según esta propuesta, el conocimiento matemático (o cualquier otro) está ligado a nuestro sistema sensoriomotor,  por lo que no sólo pensamos con la ayuda del lenguaje y de los símbolos sino también a través de los sentidos, es decir, las impresiones sensoriales constituyen el carácter multimodal de los conceptos. Según esta propuesta, la enseñanza tradicional del lápiz y papel no permite una conexión duradera con la experiencia sensorial vivida por los alumnos en los primeros años escolares.

El gran problema con el que nos encontramos los docentes es que los investigadores realizan sus experimentos con una metodología diferente a la utilizada en el entorno académico, lo que dificulta su aplicación en el aula. Ahora bien, en algunos casos, tenemos a nuestra  disposición importantes recursos educativos. Un caso concreto es el de la discalculia, que podemos encontrar en niños motivados e inteligentes pero que seguramente padecen alguna anomalía cerebral, normalmente en la región izquierda del lóbulo parietal. El estudio de estas personas demuestra la existencia de problemas, dejando aparte los aritméticos, relacionados con la orientación espacial, el control de sus propias acciones y sobre la representación de su cuerpo, especialmente de los dedos. Esto nos recuerda la forma de contar con los dedos de los niños, el control de los mismos y los gestos que hacen que conllevan determinadas posiciones corporales. Si la representación de los dedos no llega a desarrollarse normalmente, se pueden originar dificultades en el desarrollo de las habilidades numéricas. La detección de estas anomalías nos permite aplicar mecanismos compensatorios que faciliten una comprensión de las operaciones básicas o de las reglas explícitas más lenta pero segura. Pero para ello, hemos de asumir que la inteligencia no es un concepto unitario y que el aprendizaje en cada alumno es diferente. Sea como fuere, seguimos buscando recursos para diseñar la práctica docente con soportes empíricos y los principios neurobiológicos de la función cerebral guiarán el futuro.

Jesús C. Guillén

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¹ Wynn, K. “Addition and subtraction by human infants”. Nature, 358, 1992.

² Dehaene S, Spelke E, Pinel P, Stanescu R, Tsivikin S. “Sources of mathematical thinking: behavioral and brain-imaging evidence”. Science  284, 1999.

³ Dehaene S, Piazza M, Pinel P, Cohen L.”Three parietal circuits for number processing”. Cognitive Neuropsychology 20, 2003.

⁴ Dehaene, S. The number sense. how the mind create mathematics. Oxford University Press, 1997.

⁵ Butterworth, B. The mathematical brain. MacMillan, 1999.

⁶ Radford L, André M, “Cerebro, cognición y matemáticas”, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 12, 2009.

⁷ Gallese V, Lakoff G. ”The brain’s concepts: the role of the sensory-motor system in conceptual knowledge”. Cognitive Neuropsychology 22, 2005.

Para saber más:

Blakemore S., Frith U. Cómo aprende el cerebro: las claves para la educación. Ariel, 2011

Alonso D., Fuentes L. “Mecanismos cerebrales del pensamiento matemático”. Revista de Neurología 33, 2001.

Ballestra M, Martínez J, Argibay P. “Matemáticas y cerebro”. Revista del Hospital Italiano de Buenos Aires 26, 2006.

Fernández J. “Neurociencia y enseñanza de la matemática”, Revista Iberoamericana de Educación 51, 2010.

https://escuelaconcerebro.wordpress.com/2012/10/21/educacion-matematica-y-realismo/