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El error de Piaget. Cómo las evidencias empíricas obtenidas por las neurociencias informan una nueva didáctica de las matemáticas (Parte I)

Bajo este polémico título, “el error de Piaget”, el prestigioso neurólogo Stanislas Dehaene dedica en su libro The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics (New York: Oxford University Press, 1997) un epígrafe a la crítica del concepto de conservación del número formulado por Jean Piaget desde un enfoque constructivista de la inteligencia lógico-matemática del niño y que se ha aplicado a la enseñanza de las matemáticas en las escuelas con un espíritu más próximo a los dogmas de la religión que a los juicios críticos de la ciencia. Desde la publicación de los estudios fundamentales de Piaget sobre el concepto de número: The Child’s Conception of Number (New York: Norton, 1952) y The Construction of Reality in the Child (New York: Basic Books, 1954), la pedagogía académica ha asentido y no ha problematizado el nivel operatorio del niño y se ha llegado a conformar un sistema de creencias sobre el tema que ha llevado al docente a anteponer la concepción sobre la naturaleza y el desarrollo de la inteligencia lógico-matemática del niño documentada por Piaget, así como unas metodologías y aplicaciones didácticas sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en los niños informadas por dicha concepción, a la observación y experiencia de la propia práctica docente, infravalorando las distintas inteligencias de los niños, confundiendo la capacidad de respuesta física con la capacidad de comprensión de los niños y despreciando cualquier otra concepción como la relativa al sentido numérico innato, a pesar de haber sido igualmente documentada por prestigiosos matemáticos, filósofos e investigadores del campo de las ciencias cognitivas desde las mismas fechas de los estudios clásicos de Piaget citados más arriba.

En relación a este último punto, no podemos dejar de mencionar aquí al matemático Tobias Dantzing, quien en en su libro Number: The Language of Science (1954) llega a la conclusión que el cerebro humano posee facultades cognoscitivas innatas, una de las cuales es el sentido numérico por el que podemos reconocer la variación de un conjunto pequeño de elementos al añadirse o sustraerse alguno de estos elementos, siendo operativo a los pocos días del nacimiento. Y tampoco podemos olvidarnos del filósofo norteamericano Patrick Coronel Suppes[1], quien en una investigación del 1966 sobre la formación de los conceptos matemáticos en los niños llega a la conclusión que algunos de estos conceptos no se desarrollan gradualmente, sino que aparecen súbitamente. Y este aprendizaje de “todo o nada” se encuentra tanto en conceptos matemáticos simples, como por ejemplo, la semejanza de figuras irregulares” (como sería el caso de una serie de dos triángulos y un círculo), como en los más complejos[2].

El evangelio según Piaget: La mente como tabla rasa y el aprendizaje como construcción en desarrollo

Piaget llegó a la conclusión, tras diferentes demostraciones a partir de las cuales realizó una serie de generalizaciones sobre el funcionamiento y desarrollo de la inteligencia del niño, que en la interacción del niño con el medio y durante su proceso adaptativo se forman en su mente estructuras cognoscitivas cuya sucesión constante de cambios, la misma en todos los sujetos, da origen a unas etapas de desarrollo cognoscitivo desde la infancia hasta la pubertad. Estos esquemas de conocimiento ejercen una influencia determinante en lo que el niño y después el adolescente puede entender y hacer en cada una de esas etapas, aunque el tiempo trascurrido en cada etapa puede diferir en cada sujeto. En consecuencia, las etapas de desarrollo cognoscitivo delimitarán la comprensión y el aprendizaje en función de la edad:

Etapa sensoriomotriz (de 0 a 2 años).

Etapa preoperacional (de 2 a 6/7 años).

Etapa de las operaciones concretas (de 6/7 a 12 años)

Etapa de las operaciones formales (de 12 en adelante).

Los conocimientos que adquiere el niño en cada una de estas etapas se desarrollan de manera natural, incluso mejor de no haber educación formal ni incentivos. Piaget llegó incluso a desconcertar a los educadores al declarar: “Cada vez que se le enseña al niño algo, se le priva de la oportunidad de reinventarlo”. En relación a esta afirmación, cabe preguntarse qué práxis pedagógica es más ética: si esperar a que el desarrollo de conceptos se efectue de forma espontánea en el niño, o por el contrario si fomentamos ese mismo desarrollo de conceptos creando situaciones que favorezcan y alienten la comprensión y el aprendizaje de conceptos. Para Piaget el aprendizaje es un proceso progresivo y autónomo, si bien puede ser estimulado desde el exterior[3]:

Imagen 1

Teoría del aprendizaje de Piaget. Fuente: W. R. Daros, Teoría del parendizaje reflexivo. Instituto Rosario en Ciencias de la Educación, UNR-CONICET, 1992, 2009, p. 55. Disponible la edición digital en PDF. Ver aquí nota 3.

La neurociencia cognitiva nos ayuda, afortunadamente, a resolver ese dilema. Dehaene ha refutado el constructivismo de Piaget por lo que respecta a su concepto de conservación del número al demostrar la existencia de un sentido numérico innato que soporta una aritmética elemental intuitiva. Tal como nos recuerda Víctor Padrón en una excelente reseña del libro de Dehaene El sentido numérico: Cómo la mente crea las matemáticas[4], cuando el niño adquiere un lenguaje simbólico y memoriza tablas y algoritmos numéricos, los primeros conceptos matemáticos son codificados a nivel inconsciente y sobre este substrato se puede a su vez adquirir nuevos conceptos. De este modo existe un mecanismo bidireccional en el aprendizaje de las matemáticas que permite al niño, de una forma natural y motivadora, la adquisición de las capacidades de razonamiento lógico-matemático. Sin embargo, si el reconocimiento de ciertos patrones numéricos y los primeros conceptos matemáticos, como el sistema decimal o la adición y la sustracción, no se enseñan hasta la supuesta etapa de las operaciones concretas,  y si además la enseñanza de las matemáticas se centra básicamente en conceptos abstractos y en la memorización de tablas y algoritmos numéricos, entonces se pierde la continuidad en ese mecanismo, lo que conduce a que muchos niños vean las matemáticas como una actividad difícil y aburrida y crean que carecen de capacidad para su comprensión, una creencia que les llevará ineludiblemente al fracaso escolar en esta disciplina.

En la tabla expuesta más abajo se muestran algunos de los conceptos de conservación estudiados por Piaget. La columna de la derecha proporciona las edades en que los niños suizos con quienes realizó sus experimentos  pudieron comprender los diversos conceptos de conservación. Según Piaget se produce un progreso contínuo con la edad, siendo la conservación del número el primer concepto que comprende el niño entre los 6 y los 7 años, no alcanzándose la comprensión del concepto de conservación del volumen hasta que los niños no llegan a la adolescencia:

El concepto de conservación de Piaget

Fuente: F. L. Ruch y Ph. G. Zimbardo, Psicología y vida, México: Trillas, 1978, p. 115.

En un libro titulado Psicología del niño (1969), escrito por J. Piaget y B. Inhelder, que pretende ser una síntesis  de diferentes trabajos de psicología del desarrollo del niño,  tanto ajenos como propios, con el propósito de presentar unos principios cognitivos de consenso, se afirma lo siguiente:

«La construcción de los números enteros se efectúa, en el niño, en estrecha ligazón con la de las seriaciones y de las inclusiones de clases. No ha de creerse, en efecto, que un niño posee el número por el mero hecho de que haya aprendido a contar verbalmente: la evaluación numérica para él está unida, en realidad desde mucho tiempo, a la disposición espacial de los elementos, y en analogía estrecha con las “colecciones figurativas” (…) basta espaciar los elementos de una de las dos filas puestas inicialmente en correspondencia óptica para que el sujeto deje de admitir su equivalencia numérica. Luego no podría hablarse, naturalmente, de números operatorios antes que se haya constituido una conservación de los conjuntos numéricos, con independencia de las disposiciones espaciales»[5].

En consecuencia, ante la falta de sentido numérico respecto a la conservación del número hasta los 7 años aproximadamente, es mejor enseñar lógica y colecciones de objetos que no aritmética, por un doble motivo: 1) primero, para que esta instrucción escolar facilite el desarrollo del sentido numérico, y 2) segundo, para evitar una distorsión del aprendizaje de las matemáticas así como una frustración en este aprendizaje que podría generar sentimientos de ansiedad en el caso de que se quisiera implantar antes de tiempo en el desarrollo cognitivo del niño.

No está de más recordar aquí el currículo de la Educación Infantil (3-5/6 años) en la LOE[6] por lo que respecta al número, donde se observa la influencia del construccionismo de Piaget al plantearse la iniciación a las matemáticas como una construcción mental progresivamente autónoma que el niño debe realizar paso a paso y establecer una relación jerárquica entre habilidades al fijar las operaciones lógicas como prerrrequisito para la construcción del concepto de número, si bien esto último ya ha sido contestado por parte de los defensores de un modelo de integración de las habilidades matemáticas y lógicas sin subordinar las primeras a las segundas:

  1. Comparación de colecciones de objetos: Igual que, menos que, más que.
  2. Aplicación del ordinal en pequeñas colecciones ordenadas.
  3. Construcción de la serie numérica mediante la adición de la unidad.
  4. Utilización de la serie numérica para contar elementos y objetos de la realidad.
  5. Representación gráfica de la cuantificación de las colecciones de objetos mediante códigos convencionales y no convencionales.
  6. Resolución de problemas que impliquen la aplicación de sencillas operaciones (quitar, añadir, repartir).

Aportes de la Teoría de la mente en la falsación del constructivismo de Piaget

Sin embargo, las neurociencias han refutado los postulados de Piaget. Por una parte, la neurociencia del desarrollo ha confirmado que en ausencia de lenguaje el niño posee habilidades numéricas, en una situación análoga al resto de animales y algunas aves como los cuervos, que sin aprendizaje previo son capaces de reconocer cantidades que van de uno a tres o cuatro. En relación a este punto recuerdo un ejemplo famoso citado por Georges Ifrah en su monumental Historia Universal de las cifras. La inteligencia de la humanidad contada por los números y el cálculo (Madrid: Espasa, 1997):

«Un señor  decidió matar un cuervo que había hecho su nido en la atalaya de un castillo. Había intentado en varias ocasiones sorprender al pájaro, pero al acercarse, el cuervo abandonaba su nido posándose en un árbol próximo y regresaba cuando el hombre se iba de la torre. Un día recurrió a una artimaña: hizo entrar a dos compañeros en la torre y al cabo de unos instantes uno se marchó y el otro se quedó. Pero lejos de ser engañado por esa maniobra, el cuervo esperó hasta que el segundo se marchó para retornar a su nido. La vez siguiente entraron tres hombres, de los que dos se fueron al poco rato: el tercero pudo esperar la oportunidad de atrapar al cuervo todo lo que quiso, pues éste se mostraba más paciente que él. Se repitió la experiencia varias veces, pero siempre sin éxito. Al fin, la estratagema se reveló concluyente con cuatro o cinco personas, al ser el cuervo incapaz de reconocer visualmente la presencia de más de tres o cuatro humanos a la vez» (p. 36).

Así mismo, la neurociencia del desarrollo también ha confirmado que el sentido numérico y la capacidad para adquirir conceptos matemáticos crece a partir del primer año de vida. Y por otra parte, la neurociencia cognitiva ha confirmado que los niños no carecen de una representación mental genuina de los números, incluso desde el nacimiento. Diferentes investigaciones neurocientíficas han demostrado que los experimentos de Piaget eran imperfectos y llevaban a conclusiones falsas. Para ello han utilizado métodos de investigación adaptados a las edades tempranas de los niños, así como han mejorado la relación dialógica entre los experimentadores y los alumnos con el objetivo que éstos entiendan adecuadamente las preguntas y no las interpreten como suponen que quieren los adultos.

Con respecto a este defecto de los experimentos de Piaget por la falta de diálogo y entendimiento entre el experimentador y el niño, la Teoría de la mente nos informa que las inferencias mentales de los niños pequeños (entre los 2 y los 4 o 5 años)  sobre los estados mentales de otros se basan en la interpretación de su lenguaje corporal, captada por la percepción. Y que estos niños no pueden entender que exista algo como una “falsa creencia”, es decir, que alguien crea algo y que ese algo resulte ser falso. Esa es una representación mental más elaborada que para que un niño la pueda alcanzar se necesita más tiempo en su desarrollo lingüístico y psicoemocional.

Si ahora aplicamos las conclusiones a las que se llega en esta investigación a las réplicas de las demostraciones del concepto de conservación, refiriéndome aquí a la conservación de la materia, como la que tenemos en el vídeo que presentamos más abajo, llama la atención que cuando el experimentador (escena de los minutos 3 a 4), a diferencia de lo que hace con sujetos anteriores, repite varias veces el experimento, permitiendo que la niña objeto del experimento reflexione sobre su observación del cambio de dimensión de la cantidad de una substancia deformable y del cambio en el aspecto físico de la forma de la misma substancia, por el simple principio de “aprender haciendo” esa niña parece llegar a la conclusión correcta, manifestando una comprensión de la conservación de la materia. Pero las contínuas interrogaciones del experimentador y finalmente la aparición de un segundo experimentador que enfatiza la interrogación acerca del por qué de su creencia, una intervención que no ocurre en los casos con respuestas negativas, induce a la niña a dudar de su creencia ante la insistencia de los adultos en su justificación, como si la respuesta afirmativa fuera falsa al no ser capaz de comprender que los adultos la estén engañando, por lo que de haberse prolongado la interrogación seguramente llevaría a la niña a asentir la respuesta negativa que sospecha que esperan los experimentadores y que por el hecho que ellos crean que es la correcta que ella debe decir, entonces así debe ser:

A la misma conclusión llega S. Dehaene en el libro más arriba citado sobre la base de una investigación del 1974 de los psicólogos James McGarrigle y Margaret Donaldson de la University of Edinburgh, en Escocia, que en su famoso “experimento del osito de peluche”[7] demostraron que las respuestas afirmativas de los niños sobre algunos tipos de conservación en los experimentos de Piaget se explican por la deficiente comprensión de las preguntas del experimentador.  Ante la pregunta sobre si las dos series de distinta longitud pero con los mismos elementos, son iguales o diferentes, los niños responderán afirmativa o negativamente en función del sujeto encargado de realizar la alteración de la longitud. Si en lugar de una persona en calidad de experimentador, la tarea la reliza un osito de peluche y simulando que la alteración sea algo fortuito, entonces el niño responderá afirmativamente al comprender que sólo cambia la dimensión de la serie pero no la cantidad de elementos de la misma. Esto lo que prueba es que un niño pequeño puede interpretar el uso denotativo (literal, habitual) y el uso connotativo (figurado, valores asociados) de la pregunta en el mismo contexto, así como que el niño acierta cuando se le pregunta sobre algún tipo de conservación como la numérica en un contexto significativo. Así pues, la respuesta del niño dependerá de la  función pragmática del lenguaje empleado por el experimentador. En ausencia de imágenes de este experimento,  podemos ver en el siguiente vídeo otra investigación sobre la Teoría de la mente realizada por Andrew Whiten, de la University of St. Andrews, en Escocia, y extrapolar los resultados obtenidos a los experimentos de Piaget aquí expuestos:

En una próxima entrada analizaremos diferentes investigaciones neurocientíficas que prueban la existencia del sentido numérico, cuya evidencia empírica representa otra falsación de la concepción de la conservación del número postulada por Piaget, y expondremos las implicaciones pedagógicas que comportan esas investigaciones, que exigen un cambio de modelo en la didáctica de las matemáticas. Pero hasta entonces merece la pena quedarse con la investigación realizada con bebés por Renee Baillargeoni, de la Universidad de Illinois, quien demostró en varios experimentos que la concepción de la permanencia del objeto de Piaget también es errónea, en tanto que observaron que los bebés a los tres meses y medio o cuatro meses ya entienden que los objetos siguen existiendo a pesar de que no los vean (escena del minuto 3,48 hasta el final):

Piaget afirmó que no es hasta los ocho o nueve meses que los niños entienden la permanencia del objeto aunque no lo vea y que no es hasta los doce meses aproximadamente cuando entienden que los objetos no visibles también conservan sus propiedades físicas y espaciales. Así pues, los resultados de R. Baillargeoni justificarían replantear los tipos y periodos de estimulación temprana y aprendizaje en los bebés, facilitando de este modo el desarrollo cognitivo del cerebro.

Félix Pardo


[1] Suppes ha realizado importantes contribuciones a la Filosofía de la ciencia y a la Tecnología de la educación al ser uno de los primeros en identificar los beneficios del uso de las computadoras en la instrucción individual,  y que es autor junto a  Shirley Hill de una Introducción a la lógica matemática:
[2] Suppes, P. (1966), “Mathematical concept formation in children”, American Psychologist, 1966, 21, 139-150.
[3] Al respecto es recomendable el siguiente estudio: Teoria-Del-Aprendizaje-Reflexivo
[4] Publicada en el Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. IX, Nº 1 (2002), pp. 97-103. Disponible la edición digital en PDF: Vpadron-reseña-libro-Dehaene
[5] Cito de la traducción al castellano en Madrid: Morata, 1982, pp. 106-107.
[6] Disposición: REAL DECRETO 6-9-1991, núm. 1333/1991; órgano emisor: MINISTERIO EDUCACION Y CIENCIA; publicación: BOE 9-9-1991, núm. 216, [pág. 29716]. En relación a la enseñanza de las matemáticas resulta útil como primera aproximación el artículo “Aprendizaje de las matemáticas” de Yasmina María Ruiz Ahmed, publicado en Temas para la educación. Revista digital para profesionales de la enseñanza, Nº 14, Mayo 2011. Federación de Enseñanza de CC.OO. de Andalucía. 8 págs.

[7]  Publicado bajó el título de “Conservation Accidents,” Cognition 3 (1974): 341–350.

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